高考数学中的几个常见题分析

http://www.sina.com.cn 2005年03月28日12:40 合肥报业网-江淮晨报

　　合肥晚报高考数学的考试宗旨是测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。第二轮数学复习可以在短时间内整合知识、方法，提高能力，这一轮复习是在高考数学考试中取得好成绩的关键。但本轮复习时间短、任务重，怎样提高复习效率，笔者针对近几年的高考中的常见题型谈点建议：

　　整合知识，形成认知结构

　　基础知识和基本技能的复习，不只是简单重复，加强记忆，重要的是要深化认识，从本质上发现数学知识之间的关系和联系，从而加以分类、整理、综合、构造，形成一个“数学认知系统”结构，在这个结构里，数学知识在头脑中不是无序的堆积，而是一个条理化、排列有序、知识之间关系清晰分明的体系。这样，在解题时，由题目提供的信息的启示，从记忆系统里提取相关的信息来进行组合时，就能很快检索出来，而且还能从多个可以联系的知识点中，选取与题目的信息能构成最佳组合者，促使解题过程的优化。例如：若0<α<π，且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝则ｔａｎα＝（）（Ａ）－或－（Ｂ）－（Ｃ）－（Ｄ）或（2005年合肥市“一模”考试）根据题目提供的信息可选下列三种解法法一：∵0<α<π且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝<1∴π／2<α<3π／4∴ｔａｎα<－1，故选（Ｂ）法二：特例∵（）2＋（）2＝1又0<α<π且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝<1∴ｃｏｓα＝－ｓｉｎα＝∴ｔａｎα<－1，故选（Ｂ）法三：举一反三，若本题是解答题型，则可∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝∴ｓｉｎα·ｃｏｓα＝－∴ｓｉｎα、ｃｏｓα是方程25ｔ2－5ｔ－24＝0的两根（－、）又0<α<π，∴ｓｉｎα>0∴ｓｉｎα＝，ｃｏｓα＝－∴ｔａｎα＝－从这一题的解法中，可见构建知识结构系统的重要性。

　　有意识地运用数学思想方法

　　数学思想方法较之数学基础知识，有更高的层次，具有观念性的地位。如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，用以对数学问题的认识、处理和解决，属于思维的范畴。中学数学中的主要思想有：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归和转化思想。数学基本方法是数学思想的具体表现，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题手段。中学数学基本方法主要有：消元降幂法、配方法、换元法、待定系数法、参数法、反证法和数学归纳法（理科范围）。例如：已知函数ｆｘ　＝ｌｏｇａ1＋ｘ　、ｇｘ　＝ｌｏｇａ1－ｘ　，试在公共定义域内比较ｆｘ　与ｇｘ　的大小。解法一：运用分类讨论、差比或商比求解。但步骤较多，工作量大，这里从略解法二：运用数形结合作出函数与的图象。由图象可知：当－1<ｘ<0时ｆｘ　>ｇｘ　；当ｘ＝0时，ｆｘ　＝ｇｘ　；当0<ｘ<1时ｆｘ　<ｇｘ　近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或基本方法的运用，所以复习时应有意识地加以运用。

　　加强解题研究

　　“问题是数学的心脏”。学习数学的过程与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，因此要重在研究解题的方向和策略。第二轮复习中要不断总结经验，积累解题思维方法，特别要研究由题目信息与不同数学知识的结合而形成的多个解题方向，并学会选取其最佳解题路径，通过解题过程反复的操作和思考，促进解题能力有效的提高。例如：如图，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＢ⊥ＡＤ侧面ＰＡＤ为边长等于2的正三角形，底面ＡＢＣＤ为菱形，侧面ＰＡＤ与底面ＡＢＣＤ所成的二面角为120°（Ⅰ）求点Ｐ到平面ＡＢＣＤ的距离；（Ⅱ）求面ＡＰＢ与面ＣＰＢ所成二面角的大小。（2004年高考题）标准答案中给出三种解法，常规法、坐标法和分割法。这里从略。通过研究发现（Ⅱ）还可以用更简捷的方法进行处理。过Ａ点作ＡＥ⊥ＰＢ于Ｅ，由于ＢＣ⊥ＰＢ，所以<，>就是所求二面角的大小。∵＝＋∴·＝·＋·＝·＝2×2×ｃｏｓ120°＝－2∴ｃｏｓ<，>＝－<，>＝π－ａｒｃｃｏｓ合肥六中数学教师张修勇（来源：合肥晚报）