关于循环数的联想

　　我是晚报的忠实读者，不过以前并不是很关注游戏版面的题目，我前几天看了一下，其实里面的内容也很好，很丰富，而且还可以锻炼人的逻辑思维能力，正因为如此，我在上大一时碰到过一个我想了一个月才想出来的题目，在这里我拿出来和大家一起分享一下。题目是这样的：

　　已知字母a、b、c都为正整数，且1＜a＜b＜c＜9，又0.aaaaa……（a循环），0.0bbbbb……（b循环），0.00ccccc……（c循环），这三个有理循环小数成等比数列，即：（0.aaa……）×（0.00ccc……）＝（0.0bbb……）×（0.0bbb……），试求字母a、b、c，分别是多少？

　　当然啦，由于a、b、c的范围仅仅是1到9之间，所以大家就算一个一个数字去套，也算得出来。在这里，我只是想大家能够用你们自己的推理一步一步推算出来，推算得出来吗？说难也不难，只要你把那个等比数列的关系式推算出来的话，就简单了。说易也不易哦，关键就是那个等比数列可以推出什么样的关系式？

　　解题思路是这样的：

　　不知大家有没有发现过这样的数字巧合：1÷9=（0.11111……）=1/9，2÷9=（0.22222……）=2/9，3÷9=（0.33333……）=3/9等等。由此可得出n÷9=（0.nnnnn……，n为正整数）=n/9，大家认为这个等式成立吗？答案是成立的。把n换为a，即a÷9=（0.aaaaa……）=a/9。

　　同理：1÷90=（0.011111……）=1/90，2÷90=（0.02222……）=2/90，3÷90=（0.033333……）=3/90等等。由此可得出n÷90=（0.0nnnnn……）=n/90，把n换为b，即b÷90=（0.0bbbbb……）=b/90。成立吗？成立。

　　同理还可证得0.00ccccc……=c/900。

　　所以题中那个等比数列：（0.aaa……）×（0.00ccc……）＝（0.0bbb……）×（0.0bbb……）即：a/9×c/900=b/90×b/90，得ac/8100=bb/8100，再得出ac=bb，这就是我们所要推算出的关系式：ac=bb。

　　现在就容易了，因为1＜a＜b＜c＜9，故一定有3＜b＜7，可计算出b不可能等于5，所以只有4和6了。当b=4时，则a=2，c=8，符合题中条件；当b=6时，则a=4，c=9。又因为1＜a＜b＜c＜9，c＜9但c≠9，故不符合题中条件。所以最终答案是：a=2，b=4，c=8。

　　呵呵，是不是很有趣？黄东