曼德博（中）出席2008年搞笑诺贝尔奖颁奖仪式。科学艺术家制作的“门格尔海绵”。科赫曲线塞宾斯基三角几个著名的分形图形，自上而下依次是：科赫曲线、塞宾斯基三角、塞宾斯基地毯（图）。

　　10月15日，被称为“分形之父”的曼德博（Benoit Mandelbrot）因胰腺癌在美国马萨诸塞州一所临终关怀医院中去世，享年85岁。消息传出后，悼念他的不光是科研人员，还有很多文化艺术界的人士。曼德博以卓越的工作同时揭示了数学和大自然的美，而这美就美在“分形”。

　　1 怪题 英国的海岸线有多长？

　　1967年，曼德博提出了一个有趣的问题“英国的海岸线有多长？”这个问题看起来很简单，但实际上却很难回答。以1千米为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1千米的迂回曲折都忽略掉了，若以1米为单位，则能测出被忽略掉的迂回曲折。如果测量单位进一步变小，那么测得的长度将愈来愈大。这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值。

　　答案似乎解决了，但曼德博发现，当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。因此，他认为海岸线的长度是不确定的，或者说在一定意义上海岸线是无限长的。原因很简单，海岸线是不规则和不光滑的，每块小石头的边缘都是一个微缩的海岸线，这些“小海岸线”里又有很多更小的“石头”……

　　1975年，曼德博发表论文《分形、形态、机遇和维度》，第一次提出“分形”这个概念。“分形”（fractal）这个词来源于拉丁语，意思是“破碎的”。一个分形就是“一个粗糙或者碎片状的几何形状，它的每部分都是（至少大体）整体的缩小复制品”。这个特性被称为“自相似”。

　　2 起源 有些曲线就是怪

　　对于分形的研究起源于魏尔施特拉斯、康托、豪斯多夫等人的研究。他们发现有些曲线是连续变化的，但不可以求导数，即它在一个点上的变化率。如果线上有一个尖刺，它尖端的变化率就是不能得出的，也就是“不可导”。在很长一段时间里，“求导数”是描述曲线的基本方法，但有些曲折线，虽不可导，但又有规律的连续变化。于是，数学家发明了各种方法来描述这些曲线，主要的方式就是反复迭代。

　　1872年，魏尔施特拉斯描述了连续却不可导的曲线；1904年，因为对魏尔施特拉斯过于抽象的描述不满意，科赫（Helge von Koch）用几何方法做出了最简单的“分形”———科赫曲线。后来，又有几个数学家描述了各种“分形”，比如“塞宾斯基三角”、“塞宾斯基地毯”、“门格尔海绵”等等，但当时“分形”一词还没有出现。

　　法国巴黎高师信息学研究生方文杰说，在曼德博之前已经有人发现了一些“分形”，不过当时人们普遍认为这个只是一些零星的病态集合，又或者是计算误差导致。曼德博的贡献就在于他正视了这个现象，并且对它进行了开拓性的研究和宣传。

　　1975年，曼德博总结说，“分形”一般具有以下特征：它在任何大小的局部都具有完整清晰的结构；它的形状太不规则，以至于用欧几里德几何学无法描述；它是自相似的（至少是近似的或随机的）；它可以用简单的迭代法进行描述；它的豪斯多夫维数都大于它的拓扑维数。

　　3 维数 有零有整为哪般？

　　啥叫“维数”呢？这个纯粹由人工定义的概念要理解起来还颇费功夫。

　　我们知道，在欧氏几何中，点是零维的，直线是一维的，正方形是二维的，正方体是三维的。我们一般人认识的维数也就到三维，还有更多的维数吗？爱因斯坦把时间算作一维。当然，这只是一种定义方法，爱因斯坦也不认为时间和其他几维空间是一回事。还有物理学家说三维空间外还有更高的维度，比如霍金就说世界存在着“十一维空间”。引入高于三维的空间的概念是为了抹平微观世界物理规律的一些“错误”，谁也说不清那些“超三维空间”是什么样的。

　　无论是霍金还是爱因斯坦，所定义的维数都是整数。但是数学家豪斯多夫却提出了非整数的维数概念。这个“维数”是在拓扑学的概念基础上定义的。传统的拓扑维度概念认为，有长度没面积的线就是一维的，有面积没体积的面就是二维的，有体积的物体是三维的。但是有些形状很奇怪，比如科赫曲线，它由一系列，无限多个自相似的折线组成，曲线本身将是无限长的，虽然是一条线，但因为在平面上不断衍生，又有点像“占有面积”。说它是一维的吧，找不到任何一条直线段可以量它；说它是二维的吧，又没法找到合适的方块量它。为了描述这么一种奇怪的情况，豪斯多夫把它定义为“处在1维和2维之间”。利用豪斯多夫定义的计算方法，科赫曲线的维数约为1.2618。从一般的感性理解来说，这么一条“粗糙”的线的维数就是要比“光滑”的线维数多一点。

　　4 自然 世界无处不分形

　　好了，我们看看豪斯多夫维数和分形有什么密切关系。大家已经知道分形是“自相似图形”，但每一小段都和整体相似的图形并不一定是分形，比如直线和螺旋线都符合这个条件，但它们不符合“不可导”和“豪斯多夫维数多于拓扑维数”的条件———感性地说，就是这些形状“不够粗糙”。分形就是脑袋上长出小脑袋，小脑袋上又长出小小脑袋，以至无穷，由于长出了无数个毛刺一样的小脑袋，所以分形“摸”上去一定是很粗糙的。曼德博曾说，柏拉图称人类的感知包括“轻重、大小、冷热、颜色、音调和粗糙度”，除了粗糙度之外，对其他各种感知的研究都曾经掀开物理学的新篇章，而分形恰恰补上了这一缺环。

　　曼德博利用电脑制图为手段，制作出一系列非常漂亮的分形图案，其中包括著名的的“曼德博集合”。1982年，曼德博在《自然中的分形几何学》一文中更新和扩展了他的理论。这部论文把分形带入了专业和通俗的数学领域，也让那些轻蔑地把分形斥为“程序员手艺活儿”的数学家们闭了嘴。自然界有很多“自相似”的东西，比如说海岸线是无数块小石头组成的，仔细看每块小石头，它的边缘又像海岸线；闪电的每个小分叉都像大闪电的缩小版，河流、血管和叶脉也是如此；把花椰菜的一簇小花蕾掰下来，看看和整个的花椰菜差不多……

　　开始的时候，分形学和自然的联系受到很多数学物理学家的怀疑，他们认为这只是巧合而已。但随着研究的深入，科学家发现了两者更深的联系，比如说树木就是按照类似“数学迭代”的方式生长的，同样能够激发地震的山体裂纹也符合类似的规律。分形学逐渐变成了热门领域。正如曼德博所说：“云不是球体，山不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮不是光滑的，连闪电都不走直线。”大自然“无处不分形”。