函数：选做较难的新颖题

　　张开国：成都20中高三数学备课组老师

　　函数历来都是高考考查的重点内容，以函数为主线可以考查学生数学知识的熟练程度、数学能力的差异和数学素养。主要表现在新旧内容的结合上，体现在使用新观点、新方法来解决传统问题上，集中体现在函数与导数的综合，用导数的方法研究解决函数的单调性与最大值及最小值等问题。在后期的备考复习中建议如下：

　　1.“重视细节，细化过程，彻底解决”是后期特别注意的三大问题，只有这样才能提高后期复习的效益。

　　2.复习既要回归课本，熟练掌握课本中的重要知识点，还要适当选择难度较大，具有一定训练价值的新颖问题。

　　3.求函数的单调性和单调区间，函数的最值可应用导数法和定义法来解答。

　　4.掌握求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法，在熟悉相关技能的同时，注意对换元、待定系数、数形结合等思想方法的运用。

　　5.通过对分式函数、分段函数、复合函数、抽象函数等的复习，更进一步体会函数关系的本质，以适时构造函数，建立动态的、相互制约的函数思想，促进函数思想在解题中的广泛应用。

　　6.二次函数、三次函数是常考常新的内容，要抓住图像和导数这两个关键。

　　例1：设函数f(x)=1-(x>0)

　　⑴证明：当0<a<b，且f(a)=f(b)时，a+b＞2

　　⑵点P（x0， y0）(0<x0<1)在曲线y=f(x)上，求曲线在点P（x0， y0）处的切线与x轴、y轴还向所围成的三角形面积S的表达式（用表示）并求S的取值范围。

　　1-(x≥1)

　　-1（0＜x＜1）

　　⑴当0<a<b且f(a)=f(b)时，由于f(x)在（0，1）和（1，＋∞）上都是单调的。

　　∴必有f(a)=-1，f(b)=1-

　　∴ -1=1-即a+b=2ab

　　又∵a>b>0 ∴ab＜

　　∴a+b＜ ∴a+b＞2

　　⑵当0<x<1时 f'(x)=-

　　∴曲线在点（x0， y0）处的切线方程为y-y0=-(x-x)由此， S=(2-x)(0＜x＜1)

　　又∵S（x0）在区间（0，1）上是减函数

　　∴S的取值范围为，2 。

　　例2：设函数f(x)定义在R上，对任意实数x，y总有f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，0<f(x)<1。

　　⑴证明f(0)=1且x<0时，f(x)>1；

　　⑵证明函数f(x)在R上单调递减；

　　⑶设A=(x，y)｜f(x)f(y)＞f(1)，B=(x，y)｜f(ax-y+2)=1，a∈R，

　　若A∩B＝?准，求a的取值范围。

　　解：⑴令x=1， y=0则f(1)=f(0)?f(1)

　　∵f(1)>0 ∴f(0)=1

　　令y=-x，则f(0)=f(x) ?f(-x)

　　∴f(x)f(-x)=1于是f(x)=

　　设x<0，则-x＞0由已知1>f(-x)>0

　　∴ >1 即f(x)＞1

　　⑵设任意的x1，x2∈R且x1<x2则x1-x2<0

　　于是==f(x1-x2)>1又∵f(x)>0∴f(x1)＞f(x2)由定义可知f(x)是R上的增函数

　　⑶由f(x2)f(y2)>1 得f(x2+y2)>f(1)即x2+y2<1 ∴A={(x，y)|x2+y2<1}

　　由f(ax-y+2)=1得 f(ax-y+2)=f(0)即ax-y+2=0 ∴B={(x，y)|ax-y+2=0}

　　∵A∩B＝?准∴ ?莛1，即a2≤3

　　∴-≤a≤

　　例3：方程(a2+1)x2-2ax-3=0的两根x1， x2满足|x2|＜x1(1-x2)且0<x1<1，求实数a的取值范围。

　　解：∵|x2|＜x1(1-x2)∴x1(1-x2)＞0又∵x1>0 ∴x2<1

　　设f(x)= (a2+1)x2-2ax-3∵△＝4a2+12(a2+1)＞0恒成立，于是

　　f(1)＞0

　　＞1

　　解得a<1-或 a＞1+……①

　　由|x2|＜x1(1-x2)得-x1(1-x2)＜x2＜x1(1-x2)

　　∴ x1x2＜x1-x2……②

　　x1x2＜x1＋x2……③

　　∵f(0)=-3∴x2<0<x1<1 ∴②必成立

　　因此只需③成立即-＜ ∴a＞- ……④ 由①、④知a取值范围-，1-Y1+，+∞