综合性强 重视平面向量

　　□成都外国语学校高三数学备课组组长 牟秀锦

　　平面向量是高中数学的新增内容，是进一步学习数理知识的有力工具。由于向量具有数形兼备的特点，与代数、几何知识联系紧密，因此容易与平面几何、函数、三角函数、数列、解析几何等知识进行综合，在知识交汇点处设计题型新颖、综合性强、富有特色的试题。

　　1、与平面几何的综合

　　例题：关于平面?琢上的点M和?荭ABC，有以下四个命题：

　　①若有++=，则M为?荭ABC的重心；

　　②若有=?姿（+），=?滋（+），则M是?荭ABC的内心；

　　③若有?∞?=?，则M是?荭ABC的垂心：

　　④若有==，则M是?荭ABC的外心。其中正确的命题的个数是（）

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　精析：熟练掌握三角形的重心，垂心，内心，外心的向量描述，以及平行四边形ABCD中的菱形模型（若=，则（+）?（-）=0）和矩形模型（若AB⊥AD，则+=-）。

　　答案：选D。

　　2、与平面解析几何的综合

　　例题：C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足+=4，-=2，=，=?姿，=+m+，m＞0，则?姿=（ ）

　　A. 1 B. C. D. 2

　　精析：点P的轨迹方程为+=1，由内角平分线定理及比例的性质，=?姿=====2

　　答案：选D。

　　3、与三角函数的综合

　　例题：设函数f(x)=?，其中向量=（2cosx，1)，=(cosx，sin2x），x?缀R。

　　（1）若f(x)=1?且x?缀-，，求x

　　（2）若函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)(m＜)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值。

　　答案：（1）x=-；（2）m=-，n=1。

　　4、与数列的综合

　　例题：已知数列a的首项a=2，向量=(a+1，1），=(-，a)，且，的夹角为90??。

　　求证：数列a-1是等比数列。

　　答案：数列a-1是以1为首项，为公比的等比数列。

　　5、与函数的综合

　　例题：已知向量=（，-），=(，)，且存在实数x和y，使得向量=+(x-3)，=-y+x，且⊥。求函数y=f(x)的解析式，并求其单调区间和极值。

　　答案：y=f(x)=x-x。f(x)的单调递增区间为（-∞，-1]，[1，+∞）；单调递减区间为-1，1。f(x)=，f(x)=-。